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由滾動的滑塊彈簧引發(fā)的簡單思考

時間:2023-02-24 09:29:50

  相信大家小時候都玩過滑塊彈簧,比如說彈簧筆、魔方,什么地方都有這種像螺紋管一樣的彈簧。當(dāng)你把這個滑塊彈簧在桌面滾動的時候,就會看到一列波似乎從彈簧的一側(cè)傳遞向另一側(cè);再比如鉆頭或者理發(fā)店門口的紅藍(lán)白三色柱,在轉(zhuǎn)動的時候,也會感覺螺紋從一端源源不斷地冒出,最后消失在另一端,這看起來確實(shí)類似于波在行進(jìn)。我們可以簡單計算這個波的波速。假設(shè)螺線管半徑為r,旋轉(zhuǎn)頻率為f,螺距為h。我們所觀測到的波是螺線管在某一平行其中心軸的平面上的投影。

  在一個周期1/f中,這個波“前進(jìn)”了一個螺距h,波速為hf。而螺線管上繞中心軸做圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度為2πrf。對比不難發(fā)現(xiàn),只要h>2πr的時候,總可以在螺線管各點(diǎn)速度均不超過光速的情況下,讓這個波的“波速”超過光速。沒有的,因?yàn)檫@個波根本沒有攜帶任何信息,可以說,這個波上每一個點(diǎn)的軌跡,就像人浪一樣約定好了,只是和波看起來有一樣的形狀。那么我們能換復(fù)雜點(diǎn)的螺線管嗎藍(lán)線是紅線的投影。等相位點(diǎn),就是每個極值點(diǎn)在不斷向右推進(jìn),這就是相速度。
  但其實(shí)螺線管只是原地旋轉(zhuǎn),波的“復(fù)包絡(luò)”,或者說螺線管的“外輪廓”沒有前進(jìn)。而整體包絡(luò)前進(jìn)的速度可以認(rèn)為是“群速度”,就是大家一起“共同”的速度。此處舉一例,對于極其接近的ω1,ω2≈ω,有兩個波,其中第一項(xiàng)高頻項(xiàng)就是載波整體向前傳遞,而后一項(xiàng),變化極慢的項(xiàng)則是波的形狀向前傳遞。那么對于一個給定的信號,如果把它當(dāng)作某個螺線管的投影,可以還原出它對應(yīng)的“螺線管”嗎?那就是希爾伯特變換,這個變換是一個有些復(fù)雜的積分變換,還是個反常積分。

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